שיעור 3: סכום חזקות של 2

פרק 1 – מהי אינדוקציה והוכחת נוסחת סכום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

1 + 2 + 4 + … + 2^{n − 1} = 2ⁿ − 1

הוכחה באינדוקציה

1 + 2 + 4 + … + 2^{n − 1} = 2ⁿ − 1

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: איבר אחד, 2⁰ = 1.

אגף ימין:

2¹ − 1 = 1 ✓

שני האגפים שווים.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 + 2 + … + 2^{k − 1} = 2^k − 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 2 + 4 + … + 2^{n − 1} = 2ⁿ − 1

1 + 2 + … + 2^{k − 1} = 2^k − 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 2^{(k + 1) − 1} = 2^k.

צ״ל: 1 + 2 + … + 2^{k − 1} + 2^k = 2^{k + 1} − 1

נציב במקום 1 + 2 + … + 2^{k − 1} את 2^k − 1:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: 2^k − 1 + 2^k = 2^{k + 1} − 1

📐 הנחת האינדוקציה

1 + 2 + … + 2^{k − 1} = 2^k − 1

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 2 + 4 + … + 2^{n − 1} = 2ⁿ − 1

צ״ל: 2^k − 1 + 2^k = 2^{k + 1} − 1

2^k − 1 + 2^k = 2 · 2^k − 1

לפי חוקי חזקות 2 · 2^k = 2¹ · 2^k = 2^{k + 1}:

📐 חוקי חזקות

= 2^{k + 1} − 1 ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא